问题24 $120^{\circ}$等腰三角形

如图，三角形$ABC$是等腰三角形，$AB=AC=9cm$，$\angle BAC=120^{\circ}$，在$BC$上放一个$P$，使得$PC=6cm$，连接$AP$，在$AC$上找一点$W$使得$\angle WPC=\angle APB$，求三角形$BPW$的面积．

解析

如图，过$A$作$AD$和$WP$平行，则

$$\angle ADP=\angle WPC =\angle APB$$

所以三角形$ADP$是等腰三角形，由对称性可得$BD=PC$，故$BP=DC$，所以

$$S_{\triangle BPW}=S_{\triangle DCW}=S_{\triangle APC}=6\times 4.5 \div 2=13.5 cm^{2}$$