问题70 看起来是小学几何题，但实际是道高中题（第二篇）

如图，一个正方形内有一个圆和两段圆弧，已知正方形的边长是$10$，求阴影部分的面积。

解析

之所以动笔写这个系列，是因为每年这一系列的题目都会流传于各个群，学生问，老师也问，明明是道高中题，但很多人试图用小学知识来解决，因为这一些列的题目上一般配有一段很夸张的文字，诸如：小学题，求阴影部分面积；某地小升初数学题；求阴影面积（六年级），总之一定要强调一下小学、小升初、六年级等关键字。

接下来我们彻底来解决这一系列的题目，大家也要站在更高的角度，能够分辨出这到底是什么水平的题目。需要用到的基础知识：反三角函数（高中）、余弦定理（高中）

这道题小学的版本如下，利用小学知识即可解决，割补法：$2\times ($大弯角$-$小弯角$)$，具体不再计算。

然而我们要讨论的这道题目有$4$小块阴影被删掉了，需要用高中知识才能解决，我们开始。

先说思路：阴影的面积用大弓形$-$小弓形，然后再$\times 2$即可，弓形的面积用扇形$-$三角形，那么必须先求出角度，角度用余弦定理即可解决。

易得$AB= 10$，$OB=5$，$AO = 10\sqrt{2} \div 2 =5\sqrt{2}$，由余弦定理可得

$$\cos \alpha = \dfrac{10^2 + (5\sqrt{2})^2 - 5^2}{2 \times 10 \times 5\sqrt{2}}=\dfrac{5}{4\sqrt{2}}$$

$$\cos \beta = \dfrac{10^2 + 5^2 - (5\sqrt{2})^2}{2 \times 10 \times 5}=\dfrac{3}{4}$$

由反三角函数可得$\alpha = \arccos \dfrac{5}{4\sqrt{2}}\approx 27.88557^{\circ}$，$\beta = \arccos \dfrac{3}{4}\approx 41.40962^{\circ}$

那么$2\alpha \approx 55.7711^{\circ}$，$2\alpha +2\beta \approx 138.5904^{\circ}$

因此

$$S_{红} =\dfrac{138.5904}{360}\times \pi \times 5^2 - \dfrac{1}{2}\times 5^2 \times \sin 138.5904^{\circ}\approx 21.968$$

$$S_{绿} =\dfrac{55.7711}{360}\times \pi \times 10^2 - \dfrac{1}{2}\times 10^2 \times \sin 55.7711^{\circ}\approx 7.330$$

那么

$$S_{阴影}=2\times (S_{红} -S_{绿} )= 2\times (21.968 - 7.330) \approx29.276$$