问题14 四边形求面积

如图，$AC$和$DB$垂直，$DM:MC=2:3$，$AN:NB=3:4$，三角形$AQD$和三角形$AQP$的面积分别为$1734$和$726$．求：
(1)分别以线段$AQ$和线段$DP$为长和宽的长方形面积是多少？
(2)四边形$BCPQ$的面积是多少？

解析

(1)仔细观察已知面积的这两个三角形，发现$DP$恰好是这两个三角形的高度之差，则

$$S_{\triangle AQD}-S_{\triangle AQP} =\dfrac{1}{2}\times AQ\times (OD-OP)=\frac{1}{2}\times AQ\times DP$$

所以$$AQ\times DP=(1734-726)\times 2=2016$$

(2)根据梅涅劳斯定理可得：
$$\dfrac{DP}{PB}\times \dfrac{BN}{NA}\times \dfrac{AQ}{QC}\times \dfrac{CM}{MD}=1$$

所以$$\dfrac{DP}{PB}\times \dfrac{4}{3}\times \dfrac{AQ}{QC}\times \dfrac{3}{2}=1$$

因此$$\dfrac{DP\times AQ}{PB\times QC}=\dfrac{1}{2}$$

所以$$S_{BCPQ}=\dfrac{1}{2}\times PB\times QC=DP\times AQ=2016$$